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第700章 踏遍众「世间」，极限伯克利（第2页）

即，完全莱茵哈特基数。

关于这种大基数的定义，若进行简化性的阐述便是：

若对于每一个A∈Vκ+1，都有（Vκ，Vκ+1）是ZF?+A-超级莱茵哈特基数存在公理的模型，那么这样的κ，就是完全莱茵哈特基数。

所以，完全莱茵哈特基数的强度，就可以超越伯克利基数了么？

遗憾的是，依然不能。

因为这两种大基数无法进行清晰比较。

或者更进一步的说，这两者之间的一致性强度差异是不能判定的。

根本无法知晓这两种大基数到底谁的强度会更高，只能大略认为二者在强度上可以划上一个稍显模糊的“=”号。

那么，能够真正在一致性强度层面上彻底超越伯克利基数的大基数，又到底会是什么呢？

答案是，特殊-完全莱茵哈特基数。

或者也可以称其为……无界闭伯克利基数。

没错，莱因哈特基数谱系与伯克利基数谱系这截然不同的二者，在上升到极高极高层次之后，居然会发生某种神秘的交融，继而化两为一。

这，或许就是数学的神奇与美妙之处吧。

至于那在强度上彻底超越并凌驾于完全莱茵哈特基数与伯克利基数之上的所谓无界闭伯克利基数，其具体的定义简而言之便是：

如果κ是正则的并且对于所有的无界闭集C?κ和所有κ∈M的传递集M，都有j∈ε（M）并且crt（j）∈C，那么便可以称这样的κ为无界闭伯克利基数。

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而当到达这一层次后，便有一个值得一问的问题。

即，在无界闭伯克利基数之上，还会存在有更加巨大的伯克利基数谱系成员呢？

答案是，会存在。

通常而言，如果κ既是极限伯克利基数又是无界闭伯克利基数，那么κ就可以被称为极限无界闭伯克利基数。

如果对此展开来讲，便又会是一大段极为悠长且复杂的数学理论。

所以若再次进行简而言之的阐述，便要从伯克利基数谱系的开端讲起：

众所周知，最小的伯克利基数不可能是超级莱因哈特基数，所以在此基础上，就有了一个令人颇感兴趣的问题：

即，是否会存在一些伯克利基数，可以成为超级莱因哈特基数呢？

为了回答这一问题，便可引入一个强大到甚至既可以rank-反射伯克利基数，同时又是一个超级莱茵哈特基数的伯克利基数的概念。

具体来讲，就是倘若一个基数δ既是一个无界闭伯克利基数，又是一系列伯克利基数的一个极限，那么便可以认为δ是极限无界闭伯克利基数。

与此相关的定理则是：

如果δ是极限无界闭伯克利基数，那么（Vδ，Vδ+1）就是公理“有一个是超级莱茵哈特基数的伯克利基数”的模型。

由此便可断言：

对于所有满足了Ⅴδ+1∈M的传递集M和所有的D∈δ并且D是δ的无界闭子集，都会存在κ∈D，继而使得对于所有的α＜δ，皆存在j∈ε（M），最终使得：（1）crt（j）=κ；（2）j（κ）＞α。